所有的基礎科目當中，只有數學是比較不具有知識意義的。數學課教的東西是一種工具，而不是資訊。然而我們學它的目的只是為了考試，所以會看到各種補習班打著「速算」「解題技巧」「必背十大公式」等等的標語，然後家長就惶恐的向這些在街上發傳單的人求助。最後我們養成了一種習慣，那就是考古題。要怎麼寫數學？不……應該說，要怎麼在數學考卷裡拿高分？很簡單，給你無限的考古題，把它全部做完就行了。這種習慣讓解題目成為一種反射動作，缺少背後的思考。
當進了數學系，這種做數學的方法幾乎完全崩壞。在過去我們講求答案的正確、快速，但現在我們對於每題的証明講求的都是邏輯推演、詳細的過程，相較起來答案的正確與否就不是那麼重要了。這篇文章主要是記錄我在寫數學証明時遇到，或是猜想別人可能遇到，各種卡住的「點」。
此篇包含非常多的用詞，並未查證是否為正確翻譯……也歡迎指正。
定義、定理
首先來認識這兩個詞。定義，是所有邏輯推演的起源。定義是數學家「規定」出來的，也就是說定義是「恆久不變」「無法被証明正確」的，即是說無論何種情況下，定義永遠為真。下面是微積分中對函數極限\(\lim_{x \rightarrow c}f(x) = L\)的定義︰$$ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 : 0 \lt | x - c | \lt \delta \implies | f(x) - L | \lt \varepsilon $$ 這種定義稱為符號式的定義，也就是我們要學的數學寫法；相反的，若用英文敘述，稱為敘述式的定義。定理（Theorem, Proposition, Lemma），是由定義推導出來，可以在証明中被「引用」。注意到定理和定義的差別，不像定義是「原本就存在」，定理必需「被引用」。引用定理通常都會有些條件，符合條件時就可以直接寫下定理的結果，節省一些墨水。下面是 Mean Value Theorem，均值定理︰$$ \text{If $f$ is continuous on $[a,b]$ and $f$ is differentiable on $(a,b)$}\\ \text{Then} \quad \exists c \in (a,b) : f'(c) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} $$ 可以和前面的極限定義比較，定理多了 If 條件，指出何時可以引用這個定理。
描述因果關係的符號
$$ \implies \\ \rightarrow \\ \text{s.t.} $$ 這三個符號都帶有因果關係，也是常在證明中不知道應該如何使用的符號。如果基礎數學中的邏輯學的不錯，應該知道前兩個符號稱作 Implies，而且是具有 Truth Table 的邏輯意義。然而，不要把邏輯符號與証明推演搞混了！我們用邏輯符號去描述一個式子，用証明推演的符號連接各個式子。這麼說好了，國高中在寫代數運算，其中對等號兩邊同時加減乘除，然後把算好的新式子用\(\implies\)接在舊式子的尾端，此時的 Implies 符號是不具有邏輯運算意義的，我們不會去判斷符號的左、右是 true 或 false，但我們知道這是個連接符號，表示從上個式子推導到下個式子，注意這兩種「因果關係」在實質涵義上的不同。
\(\text{s.t.}\)是 such that 的縮寫，也可以記成「\(:\)」。以字義來看，我會比較傾向於把它放在變數定義之後，數學敘述之前。以上方的極限定義與均值定理為例，當 such that 之前的變數定好後，such that 之後的整個敘述為真。
更進一步探討 Implies
邏輯學到 Implies 時，對於\(P \implies Q\)我們知道︰只有在\(P\)為 true 而 \(Q\) 為 false 時，整個式子為 false，其它的情況都是 true。現在我們讓\(R \iff (P \implies Q)\)，然後來討論\(P,Q,R\)的關係。
1. 如果我們知道\(R\)是錯的。那麼很明顯\(P\)是對的，\(Q\)是錯的。
2. 如果我們知道\(R\)是對的，而且\(P\)是對的。那麼\(Q\)是對的。
3. 如果我們知道\(R\)是對的，而且\(P\)是錯的。那麼我們不知道\(Q\)是對還是錯。
這個\(P,Q,R\)事實上分別代表邏輯推演中的三件事︰前提、結果、推演過程（也就是證明的整體）。如果過程是錯的，則前提是對的，答案是錯的。如果過程是對的，前提是對的，則答案當然也是對的。如果過程是對的，但是前提是錯的，這時候答案無法判斷是對或錯。
而我們也有一個很有趣的性質，當前提錯的時候，不論我們的結論寫下什麼，過程永遠是對的。這個特別的「永遠為真」稱為 Vacuous Truth（我找不到它的中文……直翻的話是「空洞的真理」）。如果我說「若\(2=1\)，則任意自然數等於任意自然數」乍看之下好像很有道理！但我們來仔細思考這到底是什麼意思。如果這句話已經被證明為真的，而且我們知道前提很明顯是錯的，則無法判斷結論是真或假。等等！那這句話是怎麼被證明是真的？
對於\(A \implies B\)這種式子證明的手法，其中之一是直接推演證明，從前提推導至結果。若可以推導到結果，則我們就說「這個式子是真的」。回到前面，這種「nonsense」的前提，無論我們如何推導到結果，則我們說「這個式子是 Vacuous Truth」。但這種 Vacuous Truth 有沒有意義就見仁見智了（因為我們不知道答案是對還錯，而通常我們需要一個對的答案）。
空集合
我們已經知道集合有可能是空的，此時任何元素都落在集合的外面。若這個集合是\(A\)，就可以寫成︰ $$ \forall x : x \not \in A $$ 而包含的定義，\(A \subseteq B\)可以寫成︰$$ \forall x \in A : x \in B $$ 我們發現空集合本身並不存在\(x \in A\)的性質，因為它是空的。當\(A\)為空時，我們發現對於這個式子，它是個 Vacuous Truth，它永遠為真。啊咧？那所謂的「空集合屬於任何集合」這件事到底有沒有意義？有的！因為其它的非空集合都具有包含的性質，所以我們賦與空集合也存在這個性質時，整個系統會更完整（同理「若\(2=1\)則任意自然數互相相等」不具意義，因為沒有系統會使用它。當然，或許未來有人發展了一套任意數互相相等的系統，這時這個式子就有意義了）。
- 有人對於Theorem, Proposition, Lemma三個詞都翻成「定理」感到困惑，不過比較普遍接受的說法是以定理大小區分。大定理為Theorem，小定理為Proposition，較零碎的引用則是Lemma。不過也有大定理被稱為Lemma的……我是認為不必在這個地方計較。
- 在中文裡似乎沒有比較好的詞去區別兩種 implies 的涵義，而更深入的討論可能就超出我們的基礎數學了。詳細可以參考維基百科。
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